Розробки уроків

Розробки різних типів уроків з теми «Квадратні рівняння»

8 клас

Тема: Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння, їх розв`язування.

 

Розумова праця на уроках математики — пробний камінь мислення.

                                                                    В.О.Сухомлинський

 

Тип уроку: засвоєння нового навчального матеріалу.

Мета:

• сформувати поняття про квадратне рівняння, неповне квадратне рівняння, види неповних квадратних рівнянь та способи їх розв`язування; уміння розпізнавати неповні квадратні рівняння, визначати їх коефіцієнти, розкладати на множники, розв`язувати неповні квадратні рівняння;
• розвивати вміння порівнювати, аналізувати робити висновки; удосконалювати навички самоконтролю та взаємоконтролю;
• створити умови для формування комунікативних, соціальних компетентностей; виховувати відповідальне ставлення до навчання, культуру математичної мови та запису.

 

Хід уроку

І. Організаційний етап.

1. Готовність учнів до роботи на уроці.
2. Психологічний настрій

– Мені приємно знову зустрітися з вами на уроці математики. Хочу побажати вам гарного настрою на всі наступні уроки сьогодні.

3. Мотивація навчальної діяльності

Сьогодні на уроці мова піде про рівняння,  ми з вами спробуємо узагальнити свої знання про ті види рівнянь, з якими ми вже знайомі та вивчити нові. Тому пропоную вам гру «Закінчи речення»:

– Рівність, яка містить невідомі числа, позначені буквами, називається… (рівнянням)

– Невідомі числа в рівнянні називають… (змінними)

– Число, яке задовольняє рівняння, називається … (коренем або розв`язком)

– Знайти всі корені рівняння або показати, що їх не існує, означає… (розв`язати рівняння)

– Рівняння виду ах=b, де а і b— дані числа, називається… (лінійним рівнянням)

– Числа а і b у цьому рівнянні називаються …(коефіцієнти)

– Число b ще називають …(вільний член)

– Чому дорівнює значення змінної у рівняннях? (всі учні виконують завдання в зошитах, а двоє учнів — на дошці):

2х=64;          х²=16;         2х²=20;          21х²—х=0.  

– Винесіть за дужки спільний множник:

8а—12b;        3а—аb;         6ах+6ау;         4а²+8ас.

• А тепер, перевірте себе і своїх однокласників, обмінявшись зошитами.

 ІІ. Засвоєння нових знань.

1. Запропонована життєва ситуація, яку потрібно розв’язати:

Ми збираємось замінити лінолеум у нашому класі. Ширина смуги цього матеріалу дорівнює 3м. Чи можна буде покласти його двома листами, якщо довжина нашого класу на 2м більша за ширину, а площа дорівнює 48м².

Розв`язання. Нехай х м— ширина класу, тоді його довжина становить (х+2) м. За умовою задачі площа класу дорівнює 48м². Тому за формулою для обчислення площі маємо рівняння х(х+2)=48.

2. Бесіда

– Як будемо розв’язувати це рівняння?

– Яких знань не вистачає вам для виконання рівняння?

1. Пояснення матеріалу уроку:

– Встановити, яке рівняння називається квадратним. Його коефіцієнти.

– Яке квадратне рівняння називається неповним?

– Види неповних квадратних рівнянь.

– Які способи розв`язування неповних квадратних рівнянь.

ІІІ. Закріплення знань.

1.  Робота за вправами підручника (колективна, групова).
2. Контрольно-оцінювальна робота.

За окремими завданнями працюють по два  учні біля дошки. Після виконання завдання міняються місцями, аналізують розв`язання і оцінюють  один одного).

ІV. Підсумок уроку.

1. Бесіда (рефлексія).

-Чи сподобалось вам працювати на сьогоднішньому уроці?

-Що б ви зробили по іншому?

-Чи зрозуміли ви способи розв’язання неповних квадратних рівнянь?

2. Оцінювання учнів.
3. Домашнє завдання

Опрацювати §19, скласти свої рівняння, які ілюстрували б кожен випадок розв’язування неповних квадратних рівнянь. №869(а,г), 876.

 

 

Урок 2

Тема: Розв`язування неповних квадратних рівнянь

 Тип уроку: закріплення умінь та навичок.

 Мета:

• закріпити знання про квадратне рівняння, неповне квадратне рівняння, види неповних квадратних рівнянь та способи їх розв`язування; формувати вміння визначати коефіцієнти рівняння, розкладати на множники, розв`язувати неповні квадратні рівняння;
• Розвивати уміння порівнювати, аналізувати робити висновки; формувати комунікативні компетентності, творчість;
• виховувати відповідальне ставлення до навчання, організованість, культуру математичної мови та запису.

Хід уроку

І. Організаційний етап.

1. Психологічний настрій.

– Що ж, продовжимо вдосконалювати наші знання, набуті на попередньому уроці, бо як сказав Новаліс:

Справжній математик — це щирий ентузіаст. Без ентузіазму немає математики.

                 2. Мотивація навчальної діяльності

Сьогодні на уроці попрацюємо нестандартно, відшукаємо помилки у записах наших однокласників, а головне, назбираємо повну мушлю перлин мудрості.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

Отже, проведемо урок з  ученим Аль-Хорезмі. Який багато читав, вивчав перську, арабську, давньогрецьку мови, керував науковими роботами у Будинку мудрості. Ввівши Аль-джебр, і Аль-мукабала, значно покращив розв`язування рівнянь.

Що означає Аль-джебр і Аль-мукабала?

 

Аль-джебр  — перенесення членів з однієї частини рівняння в іншу.

-А ви знаєте, як виконати таку дію? (Учні повторюють правила)

 

Аль-мукабала — почленне віднімання від обох частин рівняння однакових членів. (Учні повторюють правила)

 На дошці прикріплює мушлю з картону, в яку діти на протязі уроку будуть збирати перлини мудрості.

1. Кросворд

На дошці записаний кросворд:

1. Рівність зі змінною.
2. Співвідношення величин, записане рівністю.
3. Другий степінь числа.
4. Числовий множник алгебраїчного виразу.
5. Розв`язок рівняння.
6. Графік квадратного рівняння.

 

2. Бесіда за запитаннями:

А) Які рівняння називають квадратними?

Б) На які види поділяються квадратні рівняння?

В) Прокоментуйте види рівнянь:

1) у² – 19 = 0;

2) 2х² – 9х -10 = 0;

3) х² – 9х = 0.

Г) Скільки дійсних коренів можуть мати квадратні рівняння?

Д) Наведіть свої приклади з домашньої роботи, які проілюструють усі випадки.

 

-Молодці. Отже, перша перлина мудрості потрапляє в нашу мушлю.

 Усний рахунок:

Розв`язати рівняння, записані на дошці:

– х² + 9х = 0,     19х – х² = 0,     х² – 64 = 0,     11х² = 0,     х² + 4 = 0.

 

-І, як ми бачимо, ще одна перлина мудрості потрапила до нашої мушлі.

 

IІІ. Закріплення знань.

1. Знайди помилку

Біля дошки працюють учні, які при розв`язуванні рівнянь зумисно допускають помилку. Учні класу повинні знайти її і виправити, аргументувавши свої дії.

4х² + 3х = 0,

9х² – 4 = 0,

11х² – 99 = 0.

-І знову перлина мудрості прямує до нашої мушлі.

 

-А тепер розв`яжемо рівняння, які містять дробові вирази: №896.

– Чергова перлина поповнює скарб мушлі.

2. Графічний спосіб розв’язування рівнянь.

Розв`язати графічно рівняння:

х² + х = 0,

х² = 2х,

х² – 4 = 0,

– Ще одна перлина з`явилась у нашій колекції.

ІV. Підсумок уроку.

1. Бесіда (рефлексія)

– Чи виконали ви завдання, які ставили перед собою на початку уроку?

Аналізуючи проведений урок та здобуті на ньому знання, учні перераховують перлини з мушлі і пригадують, за що вони їх отримали.

2. Оцінювання учнів
3. Створення «ситуації успіху»

– Що ж, доволі повна наша мушля. Але це далеко не всі знання, які ви отримаєте під час вивчення цієї теми. Тож нехай ваші мушлі знань завжди поповнюються все новими і новими перлинами мудрості!

4. Домашнє завдання

Опрацювати §19, №886(а, в)—І група.,

№886(б,г)—ІІ група;

Підібрати самостійно два рівняння і розв`язати їх графічно.

 

Урок 8

 

Тема: «Розв’язування квадратних рівнянь».

Ділова гра «Компетенція»

 Тип уроку: урок систематизації й узагальнення знань.

 Мета:

• узагальнити та систематизувати знання і вміння учнів з теми «Квадратні рівняння»;
• розвивати пізнавальний інтерес, культуру мислення, математичну мову;
• виховувати наполегливість, самостійність, вміння покладатися на свої власні сили.

Обладнання: роздавальний матеріал.

 

ХІД УРОКУ

Епіграф уроку:

Рівняння – мова алгебри.

І. Організаційний етап.

«Алгебра щедра, вона часто дає більше, ніж у неї просять» – так стверджував великий математик Д’Аламбер, і наш урок буде тому підтвердженням.

Сьогодні у нас незвичайний урок. Щоб підбити підсумок з теми «Квадратні рівняння», проведемо з вами ділову гру під назвою «Компетенція».

Виникає питання: а що ж це означає це слово?

Компетенція – це готовність учня використовувати засвоєні знання, навчальні вміння та навички, а також засоби діяльності в житті для виконання практичних та теоретичних завдань.

Компетентний (з латинської – здатний, відповідний) – це той, хто вміє застосовувати набуті знання та досвід.

Отже, наскільки ви компетентні щодо розв’язання квадратних рівнянь, і будемо з’ясовувати.

Наш клас – це три команди «конкурентів» (α, β, γ), у кожної є свій «спонсор знань», який зможе вам упродовж уроку надавати допомогу, а також буде мені допомагати фіксувати ваші успіхи. «Спонсори» – учні 9-го класу, які вже впевнились, наскільки важлива в курсі математики тема «Квадратні рівняння».

Умови нашої роботи:

 

І  етап проходить під девізом «Хай живе теорія!»

Мета: актуалізація опорних знань з теоретичного матеріалу.

Один з варіантів. Для виконання домашнього завдання було запропоновано самостійно знайти цікаву та корисну інформацію з теми, яку вивчаємо. У нас є такі учні, які склали або доповідь, або реферат.

Учні роблять повідомлення про свою роботу.

 Перший учень

 Необхідність розв’язувати рівняння не тільки першого, а й другого степеня ще в давнину була обумовлена потребою розв’язати задачі, пов’язані із знаходженням площ земельних ділянок, із земляними роботами військового характеру, з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння уміти розв’язувати близько 2000 років до н.е. вавилоняни. Застосовуючи сучасну алгебраїчну символіку, можна сказати, що в їх клинописних текстах трапляються такі квадратні рівняння: х² + х = 0,75; х² –  х = 14,5.

Хоча рівень розвитку алгебри у Вавилоні був високим, проте у клинописних текстах поняття від’ємного числа, а також загальні методи розв’язування квадратних рівнянь відсутні.

Другий учень

Квадратні рівняння цікавили й Діофанта. Попри те, що в «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, у ній міститься систематизований ряд задач, що розв’язуються за допомогою складання квадратних рівнянь. Наприклад, рівняння з «Арифметики» Діофанта: 12 х² + х = 1;     630х² +73 х = 6.

Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному тракті «Аріабхаттіам», складеному в 499 р. індійським математиком і астрономом Аріабхаттою. Інший індійський учений, Бахмагупта (VI ст.), виклав загальне правило розв’язування квадратних рівнянь, зведених до єдиної канонічної форми: ах²+bx = c, а>0. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.

Третій учень

В алгебраїчному трактаті ал-Хорезмі дається класифікація лінійних і квадратних рівнянь. Автор нараховує 6 видів рівнянь:

1. Квадрати, що дорівнюють кореням, тощо ах ² = bx.
2. Квадрати, що дорівнюють числу, тобто ах² = с.
3. Корені, що дорівнюють числу, тобто ах = с.
4. Квадратні числа, що дорівнюють кореням, тобто ах²+с = bx.
5. Квадрати і корені, що дорівнюють числу, тобто ах²+bx = с.
6. Корені і числа, що дорівнюють квадратам, тобто bx + с = ах²

Трактат ал-Хорезмі є першою книжкою, що дійшла до нас, в якій систематично викладено класифікацію квадратних рівнянь і подано формули їх розв’язування.

Четвертий учень

 Формули розв’язування квадратних рівнянь в Європі були вперше викладені у «книзі абака» італійського математика Леонардо Фібоначчі в 1202 р. Загальне правило розв’язування квадратних рівнянь виду х²+bx = с при всіх можливих комбінаціях знаків коефіцієнтів b і с було сформульовано в Європі лише в1544 р. М.Штизелем. Розв’язуванням квадратних рівнянь займалися Вієт, Тарталья, ар дано, Бомбеллі. Лише в Х VIІ ст. завдяки роботам Жирара, Декарта, Ньютона та інших учених спосіб розв’язування квадратних рівнянь набуває сучасного виду.

«Спонсори» фіксують активність на цьому етапі.

ІІ етап. Цікавинки навчання.

«Перевір себе». На цьому етапі уроку вам необхідно розв’язати математичний кросворд. Для виконання цього завдання ви вдома повинні були знайти відповіді на деякі запитання, які ми ще не вивчали.

Умови. «Спонсор» видає кросворди кожному учню, який підписує ім’я (заповнює олівцем).

 

 

 

Тема. Квадратне рівняння По горизонталі: 1.Як називається рівняння вигляду ax4 + bx2 + c = 0? 2.Квадратне   рівняння,   в   якого коефіцієнт дорівнює 1. 3.Вираз b2-4ас. 4.Французький математик. По вертикалі: 5.Рівняння, які мають однакові роз­в’язки на даній області визначення. 6.Множина коренів рівняння. 7.Значення змінної, яке перетво­рює рівняння в істинну рівність. 8.Кількість   коренів   квадратного рівняння, якщо D > 0. 9.Квадратне рівняння, якщо с = 0 або в=0. 10.Корінь рівняння 9х2 = 0.

 

Підсумок. Звіряємо відповіді,  «спонсори» перевіряють,  оголошують кількість правильних відповідей, заносять до таблиці результати кожного учня за урок.

Висновок. З’ясували всі теоретичні питання, готові до наступного етапу.

 

ІІІ етап. «Практика – велика справа»

 

Мета: контроль якості засвоєння знань.

Колективна робота в групах «Лови помилку».

Умови. Дані тести обговорюємо в команді, усне розв’язування.

Після кожного завдання – відповідь.

 

Індивідуальні практичні завдання

Кожен учень має право вибирати один з 3-х запропонованих варіантів.

Оцінювання:

І рівень – 2 б.

ІІ рівень – 3 б.

ІІІ рівень  – 4 б.

У цей час учні працюють біля дошки.

Тест. Квадратні рівняння

Варіант 1

1. Яке з рівнянь не має розв’язків?

а) х²+144х = 0;     б) х² – 14 = 0;    

в) х²+14 = 0;         г) х² = 40.

2. Скільки коренів має рівняння х²+6х+9 = 0?

а) один;               б) два;

в) жодного;         г) безліч.

3. Корені квадратного рівняння 2х²+3х -2 = 0 обчислюється за виразом.
4. Сума коренів квадратного рівняння х² – 4х +3 = 0 дорівнює:

а) 3;     б) 4;    в) – 3;     г) – 4.

 

Завдання практичного характеру

Розв’язати рівняння.

 

І рівень

1) х² – 6х = 0;             2) х² = 81;    

3) 3х² -7 х +4= 0;       4) х² – 4х + 3= 0.

 

ІІ рівень

1) х² – 14х +48 = 0;           2) 5х² +20 = 0;    

3) 6х² -12 х = 0;     4) 6х² – 5х + 1= 0. 5) D/4 :  х² -22 х + 105 = 0;                                                                                                                                                                             

ІІІ рівень

• (7+2y)(7-2y) + 6y² = 49+7y.
• (x² – 0,64) (x²– 4x – 12) = 0.
• (4x²-1)/3 = x (10x-9).

 

Завдання для учнів біля дошки            

1 учень. Теорема Вієта.

1) За даними числа 3; 0,5 скласти квадратне рівняння.

2)  х² – х -56 = 0;

3) D/4 : 8 х² -14 х + 5 = 0;  

2 учень. Розв’язати неповне квадратне рівняння.

1) 3х² – 27 = 0;             2) 6х² = 42х;    

3) 0,1х² = 0;                 4) х²/3= 3.

 

3 учень.

1) (х² +х)/2 = (8х-7)/3;            

2) (х-2)² +48 = (2 – 3х)².

Підсумок уроку

1. «Спонсори» підбивають підсумок за всіма видами робіт.

2. А тепер проаналізуйте рівень своїх вмінь та вискажіть їх, використовуючи тільки дієслова «знаю» та «вмію».

3. Спробуємо проаналізувати свій емоційний настрій на уроці.

Чи було вам було комфортно на цьому уроці? Використайте емблеми і віддайте «спонсору».

• радість успіху,
• отримав деяку суму знань,
• незадоволений собою на деяких етапах уроку.

«Спонсори» підбивають підсумок – кількість балів.

Учитель. На початку уроку клас був поділений на три команди «конкурентів», але наш урок стверджує протилежне, що ви – клас однодумців, які вміють застосовувати набуті знання, а це означає, що кожний з вас як і сьогодні, так і в майбутньому буде компетентний у певній галузі. Дякую за співпрацю на уроці.

Домашнє завдання

 Повторити теоретичний матеріал: означення, формул коренів квадратного рівняння. Розв’язати рівняння:

(y²+6y)/6 – (2y+3)/2 = 12;

(2x-1)/(x+7) = (3x+4)/(x-1);

(2x+3)(3x-1) – 4x (2x-1) = 5x²+ x-11.

За який значень y сума дробів (y+1)(y-5) і 10/ (y+5) та їх добуток набувають однакових значень?

Для яких значень α рівняння (α-2)х² + (4 – 2α)х + 3 = 0 має єдиний розв’язок?

 

Урок 9

Тема: Контрольна робота по темі «Квадратні рівняння»

 Тип уроку: контроль і корекції знань, умінь та навичок.

Мета:

• Перевірити рівень засвоєння учнями теми «Квадратні рівняння»; навичок розв’язування рівнянь вивченими способами;
• Розвивати пам’ять, логічне мислення, навички обчислень та перетворень;
• виховувати відповідальне ставлення до навчання, культуру математичної мови та запису.

 

Завдання для контрольної роботи

Варіант 1

Початковий та середній рівні навчальних досягнень

 

У завданнях 1—8 виберіть правильну відповідь.

 

1. Серед наведених рівнянь виберіть квадратне:

А) х³ + х² = х + 1 = 0;                      Б) х + 4/х = 2;

В) – 2х² = 4;                                     Г) (х – 2)(х – 3) – х² = 0.

 

2. Запишіть рівняння (4 – 2х)(2х + 4) = 0 у вигляді ах² + bх + с = 0 та вкажіть його коефіцієнти.

А) а = – 2,   в = 0,   с = 4;

Б) а = – 4,   в = 16,   с = 0;

В) а = – 4,   в = 0,   с = 16;

Г) а = – 4,   в = 0,   с = 8.

 

3. Коренями рівняння а – а² = 0 є числа…

А) 0;           Б) 1;               В) 1; 0;          Г) інша відповідь.

 

4. Розв`яжіть рівняння –2у² + 3у + 5 = 0.

А) -1; 2,5;           Б) -0,5; 2;            В) інша відповідь;

Г) коренів немає.

 

5. Не розв`язуючи рівняння 17а – 71 – а² = 0, визначте знаки його коренів (якщо вони є).

А) додатні;          Б) коренів немає;            В) різні знаки;

Г) від`ємні.

 

6. Складіть квадратне рівняння за його коренями х₁ = 5, х₂ = – 4.

А) х² – 20х + 1 = 0;                   Б) х² + х – 20 = 0;

В) х²– х – 20 = 0;                        Г) х² + 9х – 20 = 0.

 

7. Знайдіть середнє арифметичне коренів квадратного рівняння

2х² – 14х + 3 = 0.

А) 7/2;            Б) – 14;             В) – 7;                    Г) 7.

 

8. При якому значенні к один із коренів рівняння 3х² + 8х + к = 0

дорівнює – 1?

А) – 11;           Б) 5;             В) 11;      Г) такого значення к не існує.

 

Достатній рівень навчальних досягнень

 

Виконайте завдання 9-12. запишіть відповідь.

 

9. Знайдіть суму коренів рівняння (3х – 5)² – (2х + 1)² = 24.

 

10. При якому значенні а корені рівняння х² + (а – 2)х + а – 6 = 0

будуть протилежними числами?

 

11. Відомо, що х₁ і х₂—корені рівняння х² – 9х + 4 = 0.

Не розв`язуючи рівняння, знайдіть (1/х₁) + (1/х₂).

 

12. Обчисліть суму коренів рівняння (х² – 5х + 4) х² – 8х – 9 = 0.

 

 

Високий рівень навчальних досягнень

 

Розв`язання завдань 13, 14 повинне мати повне обґрунтування.

 

13. При якому найменшому значенні параметра а рівняння

 (а² – 2а – 3) х² – (а + 1)х + 5 = 0 має єдиний корінь?

 

Кожне із завдань 1-8 оцінюється 1 балом, 9-12- 2 балами, 13, 14- 4 балами. Максимальна кількість балів—24, що відповідає 12 балам.